您的位置: 沈阳信息港 > 健康

平面图形是什么样子

发布时间:2019-02-07 05:02:25
平面图形是什么样子 如何证明圆形是同等周长的平面图形中面积最大的?问题详情:推荐回答:这是一个非常有名的数学问题——等周问题。

对于这个问题,德国数学家Steiner给出了一个非常优美而直观的证明。

下面是证明梗概

平面图形是什么样子

等周问题在给定周长的平面封闭图形中,证明圆的面积最大。

证明梗概设T是满足给定周长的面积最大的平面封闭图形。

第一步:先证明T一定是一个凸图形(比如凸多边形、圆、椭圆等),即T的任意两点所决定的线段上的点仍然是T内的点。

比较简单的思路是反证法。

如上图所示,如果T是凹图形,那么一定可以至少找到一条线段AB和AB之间的T上的曲线X,满足AB端点之外的点都在T之外。

如果我们以AB为镜面做X的对称镜像,可以得到曲线Y,可以证明经过Y的图形T"与T的周长相等但面积更大,与假设矛盾。

故T只能是凸图形。

第二步:证明一定存在一条直线将凸图形的周长和面积同时平分。

同样用反证法。

假设一弦AB平分T的周长而将T分为大小不同的两部分P和Q,其中P大于Q。

那么去掉Q而将P沿AB做镜像对称,则可得到一个周长不变但面积等于2P的新图形T",T"的面积2P比原来的T的面积P+Q要大,与假设矛盾,故假设不成立。

第三步:证明上一步所得到一半图形是半圆。

要证明第三步的命题,等价于证明P上任意一点C到AB组成的三角形是直角三角形,即AC垂直于BC(P是半圆的充要条件)同样用反证法。

假设C为P上任意一点,那么半图形P被AC和BC分割为三块:三角形ABC,M和N。

三角形ABC可以有三种情况,即角ACB分别为锐角、直角和钝角。

假设C为锐角或钝角,那么在保持M和N面积不变时,可以移动M和N(AB的弦长会改变)得到一个让角A"CB"为直角的新图形P",因为M与N没有变,所以只需要计算并比较三角形ACB和三角形A"CB"的面积就可以了。

在角ACB为锐角或钝角时,三角形ACB的面积为AC*BD/2,其中BD为三角形的高,且BD小于BC。

而三角形A"CB"的面积为A"C*B"C/2=AC*BC/2。

因为BD小于BC,显然三角形ACB的面积比三角形A"CB"小。

那么在周长不变的情况下,P的面积比P"小,与原假设矛盾。

故对P上任意点C,角ACB恒为直角,P为半圆,T为圆。

猜你会喜欢的
猜你会喜欢的